Solución práctica de los cuadros mágicos
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Cuadro mágico interactivo...
miércoles, 11 de julio de 2012
Construcción de cuadrados mágicos
Para la construcción de cuadrados mágicos tenemos varios procedimientos cuyo uso depende del orden del cuadrado que queramos construir. Tenemos reglas para construir cuadrados de orden impar, cuadrados de orden 4k y cuadrados de orden 4k + 2. Es decir, podemos construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos según el mismo.
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a De La Loubere que fue embajador de Luis XIV en Siam los años 1687 y 1688, y publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que dio a conocer su método de construcción de cuadrados impares. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5. Para comprender mejor el método vamos a llamar a cada celda por su fila y columna, es decir:
Nos imaginamos que nuestro cuadrado es un cilindro ‘imposible’, es decir, nos imaginamos que las filas 1 y 5 están unidas, así como las columnas 1 y 5. Y empezamos colocando primero el 1 en la posición central de la fila superior (1,3) y vamos rellenando en diagonal, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente. Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal. Veámoslo en varios pasos:
Para la construcción de cuadrados mágicos tenemos varios procedimientos cuyo uso depende del orden del cuadrado que queramos construir. Tenemos reglas para construir cuadrados de orden impar, cuadrados de orden 4k y cuadrados de orden 4k + 2. Es decir, podemos construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos según el mismo.
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a De La Loubere que fue embajador de Luis XIV en Siam los años 1687 y 1688, y publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que dio a conocer su método de construcción de cuadrados impares. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5. Para comprender mejor el método vamos a llamar a cada celda por su fila y columna, es decir:
2.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Construyendo también un cuadrado mágico de orden 5 se hace lo siguiente:
Dibujamos en cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura:
Ahora colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. Queda el siguiente cuadrado:
3.- Cuadrados mágicos de orden 4k
Construímos un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto conservamos la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente.
Para k = 2 obtenemos el siguiente cuadrado mágico de orden 8:
Partiendo del cuadrado con los números dispuestos consecutivamente y eligiendo patrones simétricos distintos podemos obtener otros cuadrados mágicos. Por ejemplo:
4.- Cuadrados mágicos de orden 4k + 2
Este es el método más complicado de todos los que hemos comentado. Por ello simplemente voy a dar algunas pautas para usarlo. El método se denomina LUX. Consiste en dividir el cuadrado en subcuadrados 2×2 y etiquetarlos según ciertas reglas con las letras L, U y X. Después se realiza algún intercambio entre cuadrados 2×2 y luego se colocan números siguiendo en procedimiento de Loubere comentado antes para etiquetar cada subcuadrado también con un número. Después se asocian los números que corresponden a cada subcuadrado y luego se colocan de una cierta forma según la letra que correspondía a cada uno.
Dibujamos en cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura:
3.- Cuadrados mágicos de orden 4k
Construímos un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto conservamos la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente.
Para k = 2 obtenemos el siguiente cuadrado mágico de orden 8:
4.- Cuadrados mágicos de orden 4k + 2
Este es el método más complicado de todos los que hemos comentado. Por ello simplemente voy a dar algunas pautas para usarlo. El método se denomina LUX. Consiste en dividir el cuadrado en subcuadrados 2×2 y etiquetarlos según ciertas reglas con las letras L, U y X. Después se realiza algún intercambio entre cuadrados 2×2 y luego se colocan números siguiendo en procedimiento de Loubere comentado antes para etiquetar cada subcuadrado también con un número. Después se asocian los números que corresponden a cada subcuadrado y luego se colocan de una cierta forma según la letra que correspondía a cada uno.
Propiedades de los cuadros mágicos
1. Como observaste en los tipos de cuadros mágicos el orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 x 3 se dice que es de orden 3.
2. Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica. Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:
a . Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.
b . Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste.
Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
c . Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar los números de cualquiera de las diagonales; el resultado será la constante mágica de ese cuadrado.
n ( n² + 1 ) n³ + n
2 2
Esto quiere decir que:
1. En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar todos los números del 1 al 9 de manera que la constante mágica sea 15.
2. En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar todos los números del 1 al 16 de manera que la constante mágica sea 34.
3. En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar todos los números del 1 al 25 de manera que la constante mágica sea 65.
Y así sucesivamente.
Esto quiere decir que:
1. En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar todos los números del 1 al 9 de manera que la constante mágica sea 15.
2. En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar todos los números del 1 al 16 de manera que la constante mágica sea 34.
3. En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar todos los números del 1 al 25 de manera que la constante mágica sea 65.
Y así sucesivamente.
martes, 10 de julio de 2012
Cuadrado mágico de orden 3 (3 x 3)
Como se observa hemos colocado los números del 1 al 9 de tal forma que si sumamos cada columna da 15; cada fila da también 15; e incluso sumándolos en diagonal el resultado también es 15.
Cuadrado mágico de orden 4 (4 x 4 )
Los cuadrados mágicos de orden 4 constan de 4 filas y de cuatro columnas.
En el siguiente cuadrado mágico de orden 4 observemos cómo hemos colocado todos los números del 1 al 16 de tal forma que suman lo mismo cada fila, cada columna y en diagonal.
Cuadrado mágico de orden 5 (5 x 5)
En este cuadrado de orden 6 tenemos distribuidos todos los números del 1 al 36 de tal forma que da el mismo resultado si sumamos cada columna, cada fila o en diagonal.
Cuadrado mágico de orden 7 (7 x 7)
Historia
Dice la leyenda que el primer cuadrado mágico nació en el siglo XXIII a. C. y fue encontrado por el emperador chino de la época en el caparazón de una tortuga que pasaba por el río amarillo.
El cuadrado de 2 x 2 es imposible de resolver, lo que hizo que se viese como una imperfección, efecto o consecuencia del pecado. Los árabes utilizaron cuadrados de “n” impar con el 1 en el centro, número que sería la única representación de Alá.
Los cuadrados mágicos llegaron a Europa introducidos por Marco Polo, en el siglo XIII.
Durante la Edad Media se utilizaron como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándolos con la religión, la astrología y la alquimia. También se grababan como amuletos en láminas de plata con la creencia de que mantendrían alejada la peste negra. Los astrólogos y los alquimistas creían que la persona que llevaba una tablilla con la representación de un cuadrado mágico estaba protegida de la desgracia.
Durante la Edad Media se utilizaron como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándolos con la religión, la astrología y la alquimia. También se grababan como amuletos en láminas de plata con la creencia de que mantendrían alejada la peste negra. Los astrólogos y los alquimistas creían que la persona que llevaba una tablilla con la representación de un cuadrado mágico estaba protegida de la desgracia.
El matemático Cornelio Agrippa construyó en el siglo XVI cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 y les atribuyó un significado astronómico. Para Agrippa representaban simbólicamente a los planetas Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, más el Sol y la Luna, respectivamente.
¿Qué son los cuadros mágicos?
Los cuadrados mágicos son una forma antiquísima de acertijo numérico que consiste en una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o en general, de n x n en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.
Los cuadrados mágicos son una forma antiquísima de acertijo numérico que consiste en una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o en general, de n x n en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.
El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades matemáticas:
El concepto de orden en los números naturales.
Practicar las operaciones aritméticas básicas.
Establecer relaciones numéricas.
Determinar y crear patrones.
Desarrollar estrategias para la resolución de problemas.
Generalizar.
Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento.
El concepto de orden en los números naturales. Practicar las operaciones aritméticas básicas. Establecer relaciones numéricas. Determinar y crear patrones. Desarrollar estrategias para la resolución de problemas.Generalizar. Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento.
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